Question

线性映射的矩阵表示

求精通日语和线性代数的大神

Answer 1

线性映射（linear map），是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性映射总是把线性子空间变为线性子空间，但是维数可能降低。而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射.

Answer 2

（1）第一问要证W为R^n的子空间，直接验证即可；
（2）第二问要证ra为线性变换，直接验证即可；
（3）容易证明这n-1个向量线性无关；其次，任取W中的元素x，设x=k1e1+k2e2+……+knen,由x·f=0可得k1+k2+……+kn=0,于是x=k1(e1-e2)+(k1+k2)(e2-e3)+(k1+k2+k3)(e3-e4)+……+(k1+k2+……+kn-1)(e(n-1)-en)+(k1+k2+……+kn)en=k1(e1-e2)+(k1+k2)(e2-e3)+(k1+k2+k3)(e3-e4)+……+(k1+k2+……+kn-1)(e(n-1)-en)。因此这n-1个向量为W的一个基底。
（4）要证a取W中的非零向量时，ra（W）=W，只需证明ra（W）与W互相包含。
首先证明ra（W）包含于W，任取x∈W，由于a∈W和W为线性空间，显然有ra（x）∈W。由x的任意性得ra（W）包含于W。
其次证明ra（W）包含W，任取y∈W，由于a∈W和W为线性空间，显然有y-2(a·y/a·a)a∈W且ra（y-2(a·y/a·a)a）=y-2(a·y/a·a)a-2(a·(y-2(a·y/a·a)a)/a·a)a=y，因此y∈ra（W）。由y的任意性得ra（W）包含于W。
（5）r e2-e3 (e1-e2)=e1-e3=（e1-e2）+（e2-e3） ；
r e2-e3 (e2-e3)=-e2+e3= -（e2-e3） ；
r e2-e3 (e3-e4)=e2-e4= （e2-e3）+（e3-e4）。
于是该变换在此基底下的表现行列式为
[ 1 1 0
0 -1 0
0 1 1]。

追问

非常感谢！！
我现在在日本，关于线性变换的矩阵表示我感觉好难，国内有没有讲这一方面的教材啊？

追答

国内的高等代数基本上都会讲这个的，我手头上就有一本王萼芳、石生明修订的《高等代数》。可以到新浪爱问共享资料去下载。