Question

已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p,使得pF1⊥pF2,则椭圆离心率范围

Answer 1

如果存在p使pF1⊥pF2，
那么将椭圆与y轴的交点和F1F2相连得到的两条直线的夹角一定要大于等于90度
设椭圆与y轴的交点为B(0,b)
连接BF1、BF2
那么若∠F1BF2大于等于90°，则会存在pF1⊥pF2
而若∠F1BF2小于90°，则不存在pF1⊥pF2
所以只有在∠F1BO大于等于45°的时候，才会存在pF1⊥pF2
于是
c/√(a²-c²)
>
tan45°=1，
即c
>√(a²-c²)
得到c²>
0.5a²
所以离心率e=c/a
>
√0.5
=√2
/2
即离心率的范围是[√2
/2
,1)

Answer 2

不妨设pf2=x，则pf1=2x，
△pf1f2中，∠pf1f2=30°；
利用正弦定理：pf2：sin∠pf1f2=pf1：sin∠pf2f1；
得出sin∠pf2f1=1，即∠pf2f1=90°，△pf1f2为rt△。
由椭圆第一定义：2a=pf2+pf1=3x；2c=f1f2=根号3x；
离心率e=c/a=根号3/3.