Question

已知直线L过点P(2,1),且被两条平行直线L1:4X+3Y+1=0 和L2 : 4X+3Y+6=0，截得的线段AB长为根号2

求直线L的方程（百度其他答案我都看过）请用高一数学知识解答。悬赏10分。

Answer 1

两条平行线间的距离为d=|6-1|/√(4²+3²)=1
而 |AB|=√2，从而L与两平行直线所成角为45°，设L的斜率为k，L1的斜率为k1=-4/3
从而 tan45°=|(k+4/3)/(1-4k/3)|=1，k+4/3=1-4k/3或k+4/3=-1+4k/3
解得 k=-1/7或k=5
直线方程为y-1=(-1/7)(x-2)或y-1=5(x-2)，即
x+7y+5=0或 5x-y-9=0

追问

补：这个公式我们还没学啊，请问还有没有别的方法？

追答

用了两个公式，两条平行线间的距离公式应该学过，或者是知道。
两条直线的夹角公式可能没有学过，因为教材上没有。
如果是这样，由第一个公式得 两条平行线间的距离为d=1，|AB|=√2，画图，知L与两平行直线所成角为45°（分两种情况），设 L的倾斜角为α，设L1的倾斜角为β。
则由图易知，α=β+45°，或α=β-45°，由于tanβ=-4/3，
代入两角和与差的正切公式，就可算出tanα，也就是直线L的斜率。

追问

两角和与差的正切公式，我们没学啊。。晕了。

追答

那就麻烦了。会解方程，知道两点间的距离公式，就可以了。不过计算是麻烦的。
设L的方程为y-1=k(x-1)，即 y=kx-k+1，与4X+3Y+1=0联立，
解得交点为A( (3k-4)/(3k+4)，(-5k+4)/(3k+4) )，如不怕麻烦，再解出B点坐标，代AB的两点间距离公式，就可计算出k值，我也晕了。