Question

请证明：若数列{n}与{bn}都是等差数列,它们的前n项和分别为Sn,Tn,则an/bn=S2n-1/T2n-1

如题，谢谢

Answer 1

解：（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
在S_2n-1=12an2中，令n=1，2，得a12＝2S1a22＝2S3即a12＝2a1(a1+d)2＝2(3a1+3d)…3分
解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），
∴a_n=4n-2…5分
（Ⅱ）由（I）得b_n=2n−1，n为奇数2n−3，n为偶数…7分
∴T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=1−4n1−4+4•n(n+1)2-3n
=4n3-13+2n²-n…12分

Answer 2

证：
an/bn
=[(a1+a(2n-1))/2]/[(b1+b(2n-1))/2] /an=[a1+a(2n-1)]/2，等差中项性质，bn同理
=(2n-1)[(a1+a(2n-1))/2]/(2n-1)[(b1+b(2n-1))/2] /分子分母同乘以2n-1
=S(2n-1)/T(2n-1) /分子分母恰好分别为S(2n-1)、T(2n-1)表达式

上述结论在大量的选择题、填空题中会出现，运用上述结论，往往可以秒解。

追问

an=[a1+a(2n-1)]/2可以推一下吗，我想不出来

追答

这个不用推的，就是等差中项性质，关键是你对等差中项性质真正掌握了没有。
等差数列中，对于正整数m，n，且n<m
2am=a(m+n)+a(m-n)
至于an=[a1+a(2n-1)]/2，你把上述的等差中项性质的表达式，将m换成n，将n换成n-1，是不是就得到了