Question

[x]表示不大于x的最大整数，求方程[2x]+[3x]=8x-2/7的所有实数解。

[x]表示不大于x的最大整数，求方程[2x]+[3x]=8x-2/7的所有实数解。

Answer 1

8x-2/7=[2x]+[3x]<=2x+3x=5x，所以x<=2/21
8x-2/7=[2x]+[3x]>2x-1+3x-1=5x-2，所以x>-4/7
所以3x∈(-12/7,2/7]
所以[3x]=0或-1或-2
若[3x]=0，则x∈[0,2/21]，所以2x∈[0,4/21]，所以[2x]=0
所以8x-2/7=0,x=1/28∈[0,2/21]，符合要求
若[3x]=-1，则x∈[-1/3,0)，所以2x∈[-2/3,0)，所以[2x]=-1
所以8x-2/7=-1-1=-2,x=-3/14∈[-1/3,0)，符合要求
若[3x]=-2，则x∈(-4/7,-1/3)，所以2x∈(-8/7,-2/3)，所以[2x]=-2或-1
若[2x]=-2，则8x-2/7=-4,x=-13/28∈(-4/7,-1/3)，但[2x]=[-13/14]=-1，舍去
若[2x]=-1，则8x-2/7=-3,x=-19/56∈(-4/7,-1/3)且[2x]=[-19/28]=-1，符合要求
综上，x=1/28或-3/14或-19/56
（计算略复杂，我是纯口算，很可能算错一些地方，不过思路应该就这样了）

Answer 2

2x-1<[2x]<=2x
3x-1<[3x]<=3x
故5x-2<[2x]+[3x]<=5x
即5x-2<8x-2/7<=5x
-12/7<3x<=2/7
-4/7<x<=2/21
故有 -8/7<2x<=4/21, 得[2x]=-1, 或0

-12/7<3x<=2/7,得[3x]=-1,或0
因此[2x]+[3x]=-2,-1,0
即8x-2/7=-2,-1,0
x=-3/14, -5/56, 1/28
代入检验，只有x=-3/14, 1/28为原方程的解。