Question

若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30 .求x+y的取值范围

Answer 1

x+2y+xy=30,
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t�6�132/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减，在[ 4√2,+∞）上递增，
因为2<t<32，所以t=32时，t+32/t最大，t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).