Question

如图1，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点P，过点P做PE⊥AC于E，PD⊥AB于D，再过C作CF⊥AB于F

1求证：PD+PE=CF
2若点P在BC的延长线上，如图2，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出猜想，不必证明

Answer 1

1、作PM⊥CF于M，易证PDFM为矩形，所以PD=FM，接下来只要证明CM=PE即可。
首先，PC=CP
其次，角PMC=角CEP=90度
最后，根据PDFM为矩形可知MP//AB，所以角DBP=角MPC
又ABC为等腰三角形，所以角DBP=角ECP
所以角MPC=角ECP
由以上可知三角形MPC全等于三角形ECP
所以CM=PE
得证。

2、看不到图。。。。

Answer 2

1、连接AP
∵S△ABC=1/2*AB*CF
S△ABC=S△ABP+S△ACP
S△ABP=1/2AB*PD
S△ACP=1/2*AC*PE
∴AB*CF=AB*PD+AC*PE
∵AB=AC
∴AB*CF=AB*(PD+PE)
∴CF=PD+PE
2、如果P在BC的延长线上，则有PD-PE=CF，证明方法同上。

Answer 3

（1）证明：作PM⊥CF，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，
∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°，
∴四边形PDFM是矩形，
∴PD=FM．
∵PE⊥AC，且PM⊥CF，
∴∠PMC=∠CEP=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB⊥FC，PM⊥FC，
∴AB∥PM，
∴∠MPC=∠B，
∴∠MPC=∠ECP，
∵PC=CP，
∴△PMC≌△PEC（AAS），
∴CM=PE，
∴PD+PE=FM+MC=CF；

（2）PD-PE=CF；
证明如下：
作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF=DM，
∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，
又∠ACB=∠ECP（对顶角相等），
且AB=AC得到∠B=∠ACB，
∴∠MCP=∠ECP，
又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，
再PC=PC，
∴△PCM≌△PCE（AAS），
∴PM=PE，
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．

Answer 4

PE+PD=CF