Question

求柯西不等式及均值不等式的推论

Answer 1

柯西不等式推论：(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
　　
注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
均值不等式的推论
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab
　　
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0
　　
(3)对负实数a,b，有a+b<-2√(a*b)<0
　　
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
　　
(5)对非负实数a,b，有a²+b²≥2ab≥0
　　
(6)对实数a,b，有a²+b²;≥1/2*(a+b²)≥2ab
　　
(7)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c²;
　
(8)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac
　　
(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥3/4*(a+b)²;
　　
(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

Answer 2

这太简单了啊，将柯西不等式变形就得到了
[（a1/√b1)^2+（a2/√b2)^2+……+（an/√bn)^2][√b1^2+√b2^2+……+√bn^2)
>=（a1/√b1*√b1)^2+(a2/√b2*√b2)^2+……+（an/√bn*√bn)^2
=(a1+a2+……an)^2
再将左边的[√b1^2+√b2^2+……+√bn^2]=b1+b2+……+bn
除到右边就得。