Question

如图,等腰梯形ABCD中,AD||BC,AD=AB=CD=2,∠C=60° 1.求证：BC=2AD 2。取BC的中点M连接MD。①证明△MDC是等

1.求证：BC=2AD
2。取BC的中点M连接MD。①证明△MDC是等边三角形
②将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD'）与AB交于一点E，MC（即MC'）同时与AD交于交于一点F时，点E,F和点A构成△AEF，找出图中与AE相等的线段并加以证明。
③试探究△AEF的周长的最小值。请说明理由，并计算出△AEF周长的最小值。

Answer 1

1，分别通过A和D做BC的垂线，与BC相交与A'和D'，BA‘=AB*COS60°=AB/2，同样CD’=CD/2，而AD=A'D'，因此BC=AB/2+CD/2+AD=2AD;
2，由1的证明可知CD'=D'M=CD/2，因此CD=DM=CM，所以△MDC等边；AE=DF，因为∠MDF=∠MAE，∠DMF=∠AME，MD=MA所以△MAE和△MDF全等。
3，待续……

Answer 2

解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+√3，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+√3．