如图，BE是等腰三角形ABC的角平分线，∠C=90°，延长BC到D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于F，求证：
如图，BE是等腰三角形ABC的角平分线，∠C=90°，延长BC到D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于F，求证：AE×AC=2AF²...
如图，BE是等腰三角形ABC的角平分线，∠C=90°，延长BC到D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于F，求证：AE×AC=2AF²
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BCE-ACD全等，BCE-AFE-BFA相似
EF/AF = AF/AB
AF = AB sin 22.5
AF^2 = AB^2 sin^2 22.5 = AB^2 (1-cos45)/2
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∵ ∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=45°，BE=BE
∴ △ABE≌△DBE （ASA）
∴ BD=AB，即△ABD为等腰三角形。
∴ BF⊥AD，且F是AD的中点
∵ ∠EAF=∠DAC
∴ Rt△AEF∽Rt△ADC
∴ AE：AD=AF：AC
∴ AE·AC=AF·AD=2AF·AF
∵ ∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=45°，BE=BE
∴ △ABE≌△DBE （ASA）
∴ BD=AB，即△ABD为等腰三角形。
∴ BF⊥AD，且F是AD的中点
∵ ∠EAF=∠DAC
∴ Rt△AEF∽Rt△ADC
∴ AE：AD=AF：AC
∴ AE·AC=AF·AD=2AF·AF
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