Question

如图在三角形abc中,∠BAC=90度,AB=AC,AB是圆o的直径,圆O交BC于点D,DE垂直A

C于点E，BE交圆O于点F，连接AF,AF的延长线交DE于点P.(1)求证：DE是圆O的切线；(2)求tan∠ABE的值（3）诺OA=2，求线段AP的长

Answer 1

1.连接OD

因为∠BAC=90°

AB=AC

所以∠ABC=45°

因为OD=OB

所以∠ABC=∠ODB=45°

所以∠BOD=90°=∠BAC

所以OD平行AC

又因为DE⊥AC

所以DE⊥OD

所以DE是○O切线（过圆半径外端的垂线为圆的切线）

2.tan∠ABE=AE：AB

因为OD⊥AB

DE⊥AC

BA⊥AC

所以AE=OD=OB=1/2AB

tan∠ABE=AE：AB=1/2

3.连接OF 因为OF=BA=OB

所以∠OFB=∠OBF

∠OFA=∠FAO

∠AFO恒满足∠AFO=90°-∠OBF

（可以证明 180°-2∠OBF=2∠OFA关系恒成立，化简该式∠AOF=90°-∠OBF）

那么∠ABF+∠BAF=90°

所以AP⊥EP

∵∠FAB+∠ABF=∠BAF+∠EAP=90°

∴∠EAP=∠ABF

∴Rt△APE与Rt△EAB相似

则AP：BE=AE:BA=1:2

AP=1/2BE=√5