Question

定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间{-1,0}上为递增，则 f（3），f(2)，f（√2）大小

Answer 1

在 f(x+1)=-f(x) （1）
中用x+1替换 x,得
f(x+2)=-f(x+1) (2)
对比 (1)，（2）得
f(x+2)=f(x)
又f(x)偶，
所以 f(3)=f(1)=f(-1)
f(2)=f(0)
f(√2)=f(√2-2)
因为 -1<√2 -2<0，
所以 f(-1)<f(√2-2)<f(0)
即 f(3)<f(√2)<f(2)

Answer 2

由已知f（3）=f（2+1）=-f（2），f（2）=f（1+1）=-f（1），f（1）=f（0+1）=-f（0），f（0）=f（-1+1）=-f（-1）
函数在区间[-1，0]上递增，所以f（0）〉f（-1），于是知道f（-1）〈0，f（0）〉0，f（1）〈0，f（2）〉0，f（3）〈0且f（-根号2+1）=-f（-根号2）=-f（根号2）〈-f（-1）
综上得顺序为f（2）〉f（根号2）〉f（3）

Answer 3

可判断，函数周期为2，在（0，1）上为增函数