Question

已知Θ是三角形ABC的最大内角设向量a=(cosΘ,sinΘ)向量b=(sin2Θ,1-cos2Θ),向量c=(0,-1)

f=（a+b）c+|b|,求f的最大值

Answer 1

f=ac+bc+|b|=-sinΘ+cos2Θ-1+根号[(sin2Θ)^2+(1-cos2Θ)^2]
=-sinΘ+cos2Θ-1+2sinΘ
=sinΘ+cos2Θ-1
=sinΘ-2sinΘ^2
=-2(sinΘ-1/4)^2+1/8
因为Θ是最大内角，所以Θ>=60度（若Θ<60度，则其他两个角也小于60度，三角和不为180度）
所以sinΘ的取值范围是[根号3/2,1]
当sinΘ=根号3/2时，取最大值，为(根号3-3)/2

Answer 2

a+b=(cosθ+sin2θ，sinθ+1-cos2θ)，
(a+b)c=-sinθ-1+cos2θ=-sinθ-1+1-2sin²θ==-sinθ-2sin²θ
|b|²=sin²2θ+(1-cos2θ)²=2-2cos2θ=4sin²θ，|b|=2sinθ
f(θ)=(a+b)c+|b|=-sinθ-2sin²θ+2sinθ=sinθ-2sin²θ=-2(sinθ-1/4)²+1/8
当sinθ=1/4(由于θ是最大内角，此时应为钝角）时，f(θ)的最大值为1/8