Question

高一圆的方程题

已知定点A(m,0) ，圆x²+y²=1上有一动点Q，若AQ的中点为P ，问：
（1）求动点P的轨迹方程C;
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点，是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出A；若不存在，说明理由。

Answer 1

已知定点A(m,0) ，圆x²+y²=1上有一动点Q，若AQ的中点为P ，问：
（1）求动点P的轨迹方程C;
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点，是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出A；若不存在，说明理由。
【解】（1）求动点P的轨迹方程C
设Q点坐标为（xq，yq），P点坐标为（xp，yp）
由中点坐标公式：xp=（xq+m）/2，yp=yq/2，变形得：xq=2xp-m，yq=2yp
由于Q点为圆上一点，故xq，yq满足圆的方程，
将上式代入圆方程可以得动点P的轨迹方程C：（2xp-m）²+4yp²=1
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点，是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出A；若不存在，说明理由。
过原点且倾斜角为60°的直线方程为：y= √3x
由于定点A(m,0)，所以定点A不在直线上。
如果定点A在圆周上，则以A为顶点的圆周角∠MAN必为直角
设M点坐标为（x1,y1)，N点坐标为(x2,y2)
有：K[AM]=y1/(x1-m）【AM的斜率】；K[AN]=y2/(x2-m）【AN的斜率】
有：K[AM]*K[AN]=y1/(x1-m）*y2/(x2-m）=-1
即：y1*y2+(x1-m）*(x2-m）=0
而：y1*y2=√3x1*√3x2=3x1x2
可得：4x1x2-m(x1+x2)+m²=0 ***
将y=√3x和（2xp-m）²+4yp²=1联立消去y，求M、N两点横坐标的关系
得：16x²-4mx+m²-1=0
韦达定理：(x1+x2)=m/4；x1x2=（m²-1）/16
代入 ***式，解得：m=1/2或m=-1/2
即：存在这样的A点，坐标为（1/2，0）或（-1/2，0）
【OK】

Answer 2

1问，设P(X,Y) Q(X1，Y1)
AQ的中点为P，所以X=(X1+M)/2 Y=(Y1+0)/2
换表达方式就是X1=2x-M Y1=2Y
Q是圆上的动点，符合原方程
轨迹C为（2X-M）的平方+（2Y）的平方=1
第二问再想下吧

Answer 3

ghk