Question

设函数f(x)=3分之1倍的X的三次方+2分之1(m减1)X的平方+X+2（1）求函数f(x)的单调区间

（2）若函数f(x)在区间（0，2）内不单调，求实数M的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=1/3X³+1／2(m－1)X²+X+2
f'﹙x﹚=x²＋﹙m-1﹚x＋1
x²＋﹙m-1﹚x＋1=0
Δ=（m-1)^2-4=m^2-2m-3
当Δ>0,即m^2-2m-3>0
m<-1,或m>3时
f'﹙x﹚>0解得：
x<[1-m-√(m^2-2m-3)]/2,或x>[1-m+√(m^2-2m-3)]/2
f'﹙x﹚<0解得：
[1-m-√(m^2-2m-3)]/2<x<[1-m+√(m^2-2m-3)]/2
当Δ≤0,即-1≤m≤3时
f'﹙x﹚≥0恒成立，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数
综上，当 m<-1,或m>3时
f(x) 增区间为（-∞，[1-m-√(m^2-2m-3)]/2),([1-m+√(m^2-2m-3)]/2,+∞)
减区间为（[1-m-√(m^2-2m-3)]/2), [1-m+√(m^2-2m-3)]/2）
当Δ≤0,即-1≤m≤3时，
f(x)增区间为（-∞，+∞），无减区间

（2）f(x)在区间（0，2）内不单调，
即存在x∈（0，2）使f ‘(x)=0成立，x非重根
由x²＋﹙m-1﹚x＋1=0
得： m-1=-(x+1/x)
设g（x)= x+1/x x∈（0，2）
g'(x)=1-1/x^2=(x+1)(x-1)/x^2
x∈(0,1),g'(x)<0,g(x)递减，
x∈(1,2),g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)∈[2,+∞), -g(x)∈(-∞,-2]
m-1≤-2,m≤-1
又m=-1时, m-1=-(x+1/x)有相等的根，不合题意
所以m<-1

Answer 2

f(x)=1/3X³+1／2(m－1)X²+X+2
f'﹙x﹚=x²＋﹙m-1﹚x＋1
x²＋﹙m-1﹚x＋1=0
﹙m-1﹚^2-4×1×1≥0
m≤－1,m≥3
然后考虑对称轴。