Question

双曲线x2/4-y2=1的渐近线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于点A,B,C,D，

若A,B,C,D四点共圆，圆的半径为根号5，则a2+b2的最小值

Answer 1

双曲线x²/4-y²=1 的渐近线 是 x/2±y=0
与椭圆x²/a²+y²/b²=1相交于A，B，C，D四点，且此四点共圆
把渐近线方程分别代入椭圆方程，得
4b²y²+a²y²=a²b²
(a²+4b²)y²=a²b²
y²=a²b²/(a²+4b²) y=±ab/√(a²+4b²)
x²=4a²b²/(a²+4b²) x=±2ab/√(a²+4b²)
由双曲线的渐近线和椭圆的对称性，可得 AB//CD，BC//AD
而四点共圆，则四边形ABCD是矩形，其对角线是圆的直径，对角线的交点是圆心
∴AC=BD=2√5
设A点坐标为 （2ab/√a²+4b²,ab/√a²+4b²),那么C点坐标是（-2ab/√a²+4b²,-ab/√a²+4b²)
AC=√(20a²b²)/√(a²+4b²)=2√5ab/√(a²+4b²)=2√5
∴(a²+4b²)=a²b²
∵a²+4b²≥4ab
∴a²b²≥4ab
ab≥4
∴a²+b²≥2ab≥8
于是 a²+b²的最小值是8

Answer 2

可以上百度搜搜看，偶也不晓得