Question

大学数学证明一个数列的极限 ε的取值有什么技巧

Answer 1

楼上网友的回答，概念对了一半，错了一半！
.
1、ε
确实是任意给的，但不是确定的！
ε
可以随时更改，可以改得越来越小，但
ε
不是无穷小；
ε
仅仅是一个象征性的很小的、可以任意更改的正数。
2、根据
ε
，计算出一个
N，这个
N
也不是固定的：
A、N
的取值跟
ε
紧密相关，或者说
N
由
ε
所确定；
B、但是，在具体证明时，为了证明过程的顺利进行，
可以取不同的
N。也就是说，根据
ε，解不等式，
原本可以解出一个
N，假设为
N₁，可能解题困难，
我们可以放大这个
N，变大成为
N₂，N₂
>
N₁，为了
严格证明，我们取
N
=
N₂。
也可能写成
N
=
max{N₁,
N₂,
N₃,
N₄,
、、、}。。
然后，当
n
>
N
时，由极限计算式算出的值，跟极限值之差，
就小于
ε，证明就结束了。
3、极限证明的过程，其实就是：
A、一个争吵的过程；一个无穷列举理论化的过程；
B、一个无止尽耍赖皮的过程，ε
可以任意给，也就是可以更改，
根据
ε
找到
N
的过程，就是理论化的过程。无论怎样更改
ε，
无论怎样耍无赖，只要
ε
给得出，N
就找得到。
这个过程就是理论化的过程，就是tendency的过程。
只是我们平时的教学，过于花拳绣腿，大大咧咧地忽视了tendency，
仅仅着重于极限的限limiting、limitation。
如果认识不到这点，到头来，是不可能获得真正的感悟的。
说过极限证明理论的人，每年千千万万，绝大多数，都只是凑凑热闹而已。
他们永远悟不出真谛，包括绝大多数数学教师，都是人云亦云，不知所云。