Question

若代数式x^2+3x+2可以表示为（x-1）^2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是

x^2+3x+2=(x²-2x+1)+(5x-5)+6=(x-1)²+5(x-1)+6=（x-1）^2+a（x-1）+b∴a=5,b=6a+b=11答案是这个，问题是怎么得出这个结论？碰到这一类的题要怎么样才好... x^2+3x+2 =(x²-2x+1)+(5x-5)+6 =(x-1)²+5(x-1)+6 =（x-1）^2+a（x-1）+b ∴a=5,b=6 a+b=11 答案是这个，问题是怎么得出这个结论？碰到这一类的题要怎么样才好 展开

Answer 1

方法一：反推法，由于
x²+3x+2可以表示为（x-1）²+a（x-1）+b的形式
则由后者（x-1）²+a（x-1）+b=x²+(a-2)x+1-a+b
(1)
由于(1)式要与
x²+3x+2
相同，则，a-2=3
(3)
1-a+b=2
(4)
由(3)和(4)分别解出a=5,b=6,那么a+b=11
方法二：方程法
设X1和X2为x²+3x+2=0的根，那么x1+x2=-3
(1)
x1*x2=2
(2)
因x²+3x+2可以表达为（x-1）²+a（x-1）+b的形式，
那么x²+3x+2=0与（x-1）²+a（x-1）+b=0具有同解，即具有相同的根。
设u=X-1,
则方程式（x-1）²+a（x-1）+b=0可表达为u²+au+b=0
，设两根分别为u1和u2，那么存在，u1+u2=-
a和u1*u2=b
又，u1+u2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2
=-a
（3）
u1*u2=(x1-1)*(x2-1)=x1*x2-(x1+x2)+1
=b
（4）
从而，把（1）和(2)代入(3)和(4)式中
即可得到a=5,=6
那么a+b=11