Question

2012年乌鲁木齐市第一次诊断性测验 数学答案

Answer 1

　　乌鲁木齐地区2012年高三年级第一次诊断性测验
　　理科数学试题参考答案及评分标准
　　一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
　　选项 A C B A C A B B B C B D
　　1．选A.【解析】 ．
　　2．选C.【解析】由集合概念知： 存在且 ，故排除A、B；若 ，或 ，或 时，均有 ，不合题意，故排除D；若 ，或 时，均符合题意.
　　3．选B.【解析】根据题意，它是一个圆柱和一个 的球的组合体.
　　4．选A.【解析】由三角函数定义得点 ，它在直线 上，
　　∴ ，即 ，两边平方，化简得 .
　　5．选C.【解析】作出可行区域，如图， .
　　6．选A. 【解析】∵ ， ，
　　∴ .
　　7．选B.【解析】 ，当 时，
　　未必是一次函数，但当 为一次函数时，有 且 ．
　　8．选B.【解析】 ，由几何概型知点落入阴影部分的概率为 ，故 的值会稳定于 ．
　　9． 选B.【解析】∵ ，且 ，∴当 ， ，函数递增； ， ，函数递减.而 时 ，∴函数 的零点只有1个，即 .
　　10．选C.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为 时，可设直线方程为 ，由 ，解得 ；②截距不为 时，可设直线方程为 ，由 ，解得 ．因此符合题意的直线共有4条．
　　11．选B.【解析】由题知：令 时有 ，解得 ，
　　∴ ．
　　12．选D.【解析】如图，∵ ，∴ ，在 上取一点
　　使 ，则题中的角 可用 表示．
　　∴在△ 中， ，
　　解得 ，于是 ， ．

　　二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
　　13． 填 .【解析】∵ ， ，∴ ， ，不妨设双曲线方程为 ，由对称性知，焦点 到渐近线 的距离 ．
　　14．填 .【解析】经过 次循环， ， ，∴ 时，
　　．
　　15．填 .【解析】由题知： 是 的中点，又 ，∴在 △ 中， ，∴ ， ．
　　16．（理科)填 .【解析】由题设知 ，
　　．故 ．

　　三、解答题（共6小题，共70分）

　　17．（本小题满分12分）

　　（1） ； …5分
　　（2） 的可能取值是 ， ， ．
　　时同问题（1），即 ；
　　；
　　．

　　∴ 的分布列为

　　∴ ． …12分

　　18．（本小题满分12分）
　　（1）∵三棱柱 为直三棱柱，∴ ．
　　又 ，∴ ，
　　而 ，∴ ； …6分
　　（2）

　　如图所示，建立空间直角坐标系 ，可取 为平面 的一个法向量．设平面 的一个法向量为 ．则 ， ，其中 ， ，
　　∴ ∴ 不妨取 ，则 ．
　　．
　　∴二面角 的余弦值的大小是 ． …12分
　　19．（本小题满分12分）
　　（1）由已知 ，
　　∴ ，∴ ，
　　又 ，
　　由已知 ，∴ ，即 ，
　　而 ，所以 ． …6分
　　（2）由已知 ，
　　代入 中，得 ．
　　在△ 中，由余弦定理得：

　　≥ ，当且仅当 ，
　　即 时，等号成立，此时 的最小值是 ． …12分

　　20.（本小题满分12分）
　　（1） 点 不满足 ，∴ 在椭圆 上，∴ ，
　　由椭圆性质知： ≤ ，而 ，∴点 在抛物线上，
　　由 ，解得 ．
　　又点 只能在椭圆上，∴ ，∴ ，
　　∴椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ． …6分
　　（2）
　　设 ， ，又 ， ，联立直线 ， 的方程
　　消去 得 （*）
　　由 消去 得 ．
　　则 消去 得 ．
　　代入（*）得 ．
　　∴两直线 、 的交点在抛物线的准线 上． …12分

　　21.（本小题满分12分）
　　（1）显然 ，因此 ，∴ 或 ．
　　．
　　当 时，易知 ，或 ，则 在 上单调．所以
　　由题意 ，解得 ，或 （舍去）．
　　当 时， 不合题意．
　　综上： ，∴ 的解析式为 ． …6分
　　（2）由（1）知： ，于是 在 上单调递减，则
　　≤ ≤ ，即 ．
　　由题意可知：即要使 时满足 ≤ ，且 ≥ ．
　　而 ≥ ，故 在 上单调递增．
　　∴ ≤ ，且 ≥ ．
　　解得 ≤ ，或 ≤ ≤ ． …12分

　　请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

　　22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
　　（1）连结 ， ，又 ，∴ ．
　　是 的切线，∴在 △ 中， 是斜边 上的中线．
　　∴ ，∴ ，
　　∴ ； …5分
　　（2）由题意知： 、 、 、 四点共圆，∴ ．
　　由（1）知： ，∴ ，而 是 的切线，
　　∴弦切角 ， ∴ ．∴ ． …10分

　　23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
　　（1）设点 ， ，则由已知：
　　而 满足 故得：
　　（ 为参数）为所求曲线 的方程； …5分
　　（2）曲线 的极坐标方程为 ， 在曲线 上，所以 ．
　　曲线 的极坐标方程为 ， 将 代入曲线 的极坐标方程中，得 ，即 ． …10分

　　24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
　　（1）不等式可化为： ≥ ，解得 ≥ ，或 ≤ ．
　　故不等式 ≥ 的解集为 ≥ ，或 ≤ ； …5分
　　（2）由 ≥ ，得 ≥ ．可化为不等式组
　　或 即 或
　　，∴不等式组的解集为 ≤ ≤ ．
　　依题意令 解得 ． …10分
　　以上各题的其它解法，限于篇幅，从略．请相应评分.