Question

当XYZ不等于0，且[Y+Z]/X=[Z+X]/Y=[X+Y]/Z，则（X+Z）（Z+X）（X+Y）/XYZ的值是多少？

Answer 1

若X+Y+Z=0，则[Y+Z]/X=[Z+X]/Y=[X+Y]/Z=-1，而XYZ≠0，故
（Y+Z）（Z+X）（X+Y）/XYZ=(-X)(-Y)(-Z)/(XYZ)=-1
若X+Y+Z≠0，则由合分比定理得
[Y+Z]/X=[Z+X]/Y=[X+Y]/Z=[Y+Z+Z+X+X+Y]/(X+Y+Z)=2
于是有Y+Z=2X,Z+X=2Y,X+Y=2Z,于是
（Y+Z）（Z+X）（X+Y）/XYZ=2X*2Y*2Z/(XYZ)=8
题目肯定是笔误。

追问

XYZ不等于0是乘法……

追答

没错啊，xyz≠0说明x、y、z没有一个等于0。但不能保证x+y+z也不等于0，例如x=-2,y=1，z=1，满足xyz≠0，但不满足x+y+z≠0。所以要分开讨论，即需要讨论X+Y+Z=0的情况和X+Y+Z≠0的情况。