Question

已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx(a属于R) (1).若函数h(x)=f(x)-g(x),当存在最小值时，求其最小值解析式&（a)

（2）对（1）中的&（a)，证明，当a属于（0，正无穷）时，&（a)小于等于1

Answer 1

h（x）=√ x-alnx（x＞0），
∴h′（x）= 1／2√x-a／x=√x-2a／2x，
当a＞0时，令h′（x）=0，
x=4a2，
当0＜x＜4a2时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a2）上递增．
x＞4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极致点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
Φ（a）=h（4a2）=2a-aln4a2=2
当a≤0时，h（x）=（1/2-2a）/2x＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
故h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞o）．

Answer 2

1. h(x)=f(x)-g(x)=√x-alnx (x>0)
h'(x)=1/(2√x)-a/x=(√x-2a)/(2x)
当a≤0时，h'(x)≥0总成立，
h(x）为增函数，在（0，+∞）内无最小值。
当a>0时，
x>4a^2时，h'(x),>0，h(x）递增
0<a<4a^2时，h'(x)<0,h(x)递减
∴x=4a^2i时，h(x）取最小值
&（a)=2a-aln(4a^2)=2a-2aln(2a)
2. &'(a)=2-2ln(2a)- 2a/(2a) *2=-2ln(2a)
&'(a)>0==>0<a<1/2
&'(a)<0==>a>1/2
∴a=1/2 时 ,&（a)取最大值&(1/2）=1
即当a∈（0，+∞）时，&（a)≤1成立

Answer 3

设交点为（x0，y0），
求导可得1/(2√x0)=a/x,
∴x0=4a^2,
代入方程√x0=alnx0，
当a≥0得x0=a=0
∵是增根，
不符合题意，舍去
当a≤0，
得ln（-2a）=-1，
∴a=-1/2e