Question

证明Sn=√1x2+√2x3+√3x4+.....+√nx(n+1)<(n+1)*2/2

大哥大姐，俺急求啊拜托了，完了俺给你们加钱
不能用放缩法？？？？？？？？？？？？？？？
不能用放缩法？？？？？？？？？？？？？？？

Answer 1

数学归纳法
n=1时
√1x2<(1+1)^2/2 成立
假设n=k时
√1x2+√2x3+√3x4+.....+√k(k+1)<(k+1)^2/2 也成立
当n=k+1时
左边加上一项√(k+1)(k+2)
右边加上一项(2k+3)/2
将以上两个数平方再分别乘4
左边是4k^2+12k+8
右边是4k^2+12k+9
所以n=k+1时，左边加上的项比右边加上的项小
所以n=k+1时
√1x2+√2x3+√3x4+.....+√k(k+1)+√(k+1)(k+2)<(k+2)^2/2也成立

得证：√1x2+√2x3+√3x4+.....+√nx(n+1)<(n+1)^2/2

哈哈，放缩出来了
对于每一项√n(n+1)=√n^2+n<√n^2+n+0.25=n+0.5
即√n(n+1)<n+0.5
所以原式<1+0.5+2+0.5+……+n+0.5
=0.5n(n+1)+0.5n
=(n^2+2n)/2
<(n+1)^2/2
得证

Answer 2

用数学归纳法。
（1）当n=1时，S1=√1x2=√2<2，成立
（2）假设n=k时，有Sk=√1x2+√2x3+√3x4+.....+√kx(k+1)<(k+1)²/2
那么 S(k+1)=Sk+√(k+1)(k+2)
<(k+1)²/2+√(k²+3k+2)
<(k+1)²/2+√(k²+3k+9/4)
<(k+1)²/2+k+3/2
=(k²+2k+1+2k+3)/2
=(k+2)²/2
从而 n=k+1时，不等式也成立。
所以 Sn=√1x2+√2x3+√3x4+.....+√nx(n+1)<(n+1)²/2 ,n∈N