Question

如图 一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线

AC,BC于M,N,过墙角D作DP垂直于AC于P，DQ垂直于BC于Q。
1.若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB=θ，试求平板面的长L（用θ表示）；
2.若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少？

Answer 1

1

DG=DH/cosθ=1/cosθ

GP=DG-DG=2-1/cosθ

AP=GP/tanθ=(2-1/cosθ)/tanθ

AC=AP+PC=2+(2-1/cosθ)/tanθ

AB=AC/cosθ=(2+(2-1/cosθ)/tanθ)/cosθ=(2+(2-1/cosθ)cosθ/sinθ)/cosθ

2

θ=45°

AB=4

.若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过4米

Answer 2

解：1、AP==AC-DC=Lcosθ-2,MA=AF/sinθ=1/sinθ,故MP=MA+AP=1/sinθ+Lcosθ-2
而MP=DP/tanθ=2cotθ，故有1/sinθ+Lcosθ-2=2cotθ，解得
L=(2cotθ+2-1/sinθ)/cosθ=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)
2、令f(θ)==(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)，显然需求出对所有的0≤θ≤90°的f(θ)的最小值，只要L不超过该最小值，就可以顺利通过。
f(θ)=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)=2(2cosθ+2sinθ-1)/(1+2sinθcosθ-1)
=[4(cosθ+sinθ)-2]/[(cosθ+sinθ)^2-1]=4(cosθ+sinθ-1/2)/[(cosθ+sinθ-1/2)^2+(cosθ+sinθ-1/2)-3/4]
=4/[(cosθ+sinθ-1/2)+1-3/4*1/(cosθ+sinθ-1/2)]
由于1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+45°)≤√2，故cosθ+sinθ-1/2≥1/2>0，故f(θ)随着cosθ+sinθ-1/2的增大而严格单调减小，则其最小值必为θ=45°时L的大小。于是
L≤f(45°)=(2cos45°+2sin45°-1)/(sin45°cos45°)=4√2-2≈3.657