Question

已知函数f(x)=cos2x-4acosx-4a+1的最小值为g(a) (1)求g(a)的表达式 (2)求g(a)的最大值

Answer 1

(1)f(x)=cos2x-4acosx-4a+1
=2cos^2x-1-4acosx-4a+1
=2(cosx-a)^2-2a^2-4a
因为-1≤cosx≤1，
所以，当a<-1时，cosx=-1时，f(x)取得最小值g(a)=2；
当-1≤a≤1时，cosx=a时，g(a)=-2a^2-4a；
当a>1时，cosx=1时，g(a)=2-8a。
(2)当a<-1时，g(a)=2；
当-1≤a≤1时，g(a)=-2a^2-4a=-2(a+1)^2+2是减函数，g(a)的最大值是g(-1)=2；
当a≥1时，g(a)=2-8a是减函数，g(a)的最大值是g(1)=-6，
综上，g(a)的最大值是2。

Answer 2

f(x)=cos2x-4acosx-4a+1
=2cos^2x-4acosx-4a
=2(cosx-a)^2-2a^2-4a
当cosx=a时有最小值为：-2a^2-4a
所以可得：
g(a)=-2a^2-4a=-2(a+1)^2+2
当a=-1时有最大值为2

Answer 3

f(x)=cos2x-4acosx-4a+1
=cosx*cosx-4acosx-4a
=(cosx-a)^2-a^2-2a
所以g(a)=-a^2-2a=-(a^2+2a)+1。所以其最大值为1.