Question

已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin^2(x)的最小值为a的函数，记为g(a),求g(a)的表达式

Answer 1

f(x)=1-2a-2acosx-2sin^2(x)=2cos^2(x)-2acosx-2a-1=2(cosx-a/2)^2-a^2/2-2a-1
若a<-2，即a/2<-1，则f(x)的最小值为2(-1-a/2)^2-a^2/2-2a-1=1
若-2<=a<0，即-1<=a/2<0，则f(x)的最小值为2(a/2-a/2)^2-a^2/2-2a-1=-a^2/2-2a-1
若a=0，则f(x)的最小值为-1
若0<a<2，即0<a/2<1，则f(x)的最小值为2(a/2-a/2)^2-a^2/2-2a-1=-a^2-2a-1
若a>=2，即a/2>=1，则f(x)的最小值为2(1-a/2)^2-a^2/2-2a-1=-4a+1
综上所述，g(a)={1(a<-2)，-a^2/2-2a-1(-2<=a<=2)，-4a+1(a>2)}

Answer 2

解：f(x)=1-2a-2acosx-2[1-cos^2(x)]
=1-2a-2acosx-2+2cos^2(x)
=2[cos^2(x)-acos(x)+a^2/4]-a^2/2-2a-1
=2(cosx-a/2)^2-a^2/2-2a-1
所以当cosx=a/2时,函数值最小
g(a)=-a^2/2-2a-1.