Question

函数f（X）=1-2a-2acosX-2sin²X 的最小值为 g（a）

函数f（X）=1-2a-2acosX-2sin²X 的最小值为 g（a）
1. 求 g（a）
2. 若g（a）=1/2 求a及此时f（x）的最大值 。
谢谢

Answer 1

解：
1.
f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x
=1-2a-2acosx-2(1-cos²x)
=2cos²x-2acosx-2a-1
=2(cosx-a/2)²-a²/2-2a-1
当-1≤a/2≤1时，即当-2≤a≤2时，当cosx=a/2时，f(x)有最小值f(x)min=-a²/2-2a-1
当a/2<-1时，即当a<-2时，当cosx=-1时，f(x)有最小值f(x)min=2+2a-2a-1=1
当a/2>1时，即当a>2时，当cosx=1时，f(x)有最小值f(x)min=2-2a-2a-1=1-4a
综上，得
g(a)=1 (a<-2)
-a²/2-2a-1 (-2≤a≤2)
1-4a (a>2)
2.
令1-4a=1/2，解得a=1/8 (<2，舍去)
令-a²/2-2a-1=1/2，整理，得a²+4a+3=0
(a+3)(a+1)=0
a=-3(<-2，舍去)或a=-1
此时f(x)=2(cosx+1/2)²-1/2+2-1=2(cosx+1/2)²+1/2
当cosx=1时，f(x)有最大值f(x)max=2(1+1/2)²+1/2=5
a的值为-1，f(x)的最大值为5。