Question

设函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g(a) （1）求g(a)

设函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g(a)
（1）求g(a)
(2)求使g(a)=1/2的a的值及此时f(x)的最大值

Answer 1

解答：
换元，设cosx=t,则t∈[-1,1]
∴ y=1-2a-2at-2(1-t²)
=2t²-2at-2a-1
是二次函数，对称轴是t=a/2,图像开口向上。
① a/2≤-1时，即a≤-2时，
t=-1时，
最小值g(a)=1
② -1<a/2<1,即 -2<a<2时，
t=a/2时，
最小值g(a)=-a²/2 -2a-1
③ a/2≥1时，即a≥2时，
t=1时，
最小值g(a)=1-4a
综上，g(a)的表达式为
{ 1 a≤-2
g(a)={ -a²/2 -2a-1 -2<a<2
{ 1-4a a≥2
（2）
g(a)=1/2
① a≤2，显然不成立
② -2<a<2, -a²/2-2a-1=1/2
∴ -a²-4a-3=0
即a²+4a+3=0
∴ a=-1或a=-3（舍）
③ a≥2时
1-4a=1/2
a=1/8 （舍）
∴ a=-1
此时 f(x)=2t²+2t+1
对称轴是t=-1/2
∴ t=1时，有最大值2+2+1=5