求函数y=x+4+根号(5-x^2)的最大值和最小值(最大:4+根号10;最小:4-根号10)
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三角换元法,高二知识,不知你学没学过
y=x+4+根号(5-x^2)中,发现X项的平方与根号(5-x^2)平方之和是定值5
又因为(sinα)^2+(cosα)^2=1
所以令X=√5*sinα
根号(5-x^2)=√5*cosα
则y=√5*sinα+√5*cosα+4
用合角公式得
y=√10*sin(α+45°)+4
所以三角函数的最值去做
所以 最大:4+根号10;最小:4-根号10
y=x+4+根号(5-x^2)中,发现X项的平方与根号(5-x^2)平方之和是定值5
又因为(sinα)^2+(cosα)^2=1
所以令X=√5*sinα
根号(5-x^2)=√5*cosα
则y=√5*sinα+√5*cosα+4
用合角公式得
y=√10*sin(α+45°)+4
所以三角函数的最值去做
所以 最大:4+根号10;最小:4-根号10
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三角换元法
y=x+4+根号(5-x^2)中,发现 X项的平方与根号(5-x^2)平方之和是定值5
又因为(sinα)^2+(cosα)^2=1
所以(√5sinα)^2+(√5cosα)^2=5
因此令X=√5*sinα
因为 -√5<=X<=√5【注意定义域,这可是初中数学的内容,别告诉我你没学】
所以令 -90°+k*360°<=α<=90°+k*360°, k属于正整数
则有:y=√5*sinα+√(5-(sinα)^2)+4=√5*sinα+√5*cosα+4
用合角公式得
y=√10*sin(α+45°)+4
所以令 -45°+k*360° <=α+45°<=135°+k*360°, k属于正整数
所以 -√2/2 <=sin(α+45°)<= 1
所以 4-√5 <=y=√10*sin(α+45°)+4<=4+√10
所以 最大:4+√10;最小:4-√5
可惜啊,学过的会用的知识不一定能够完全做对哟~
这题是2017年全国高中数学联赛陕西赛区一试的第7题,感兴趣的同学可以看一下解答
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