Question

求函数y=x+4+根号(5-x^2)的最大值和最小值（最大：4+根号10；最小：4-根号10）

Answer 1

三角换元法,高二知识,不知你学没学过
y=x+4+根号(5-x^2)中,发现X项的平方与根号(5-x^2)平方之和是定值5
又因为(sinα)^2+(cosα)^2=1
所以令X＝√5*sinα
根号(5-x^2)=√5*cosα
则y=√5*sinα+√5*cosα+4
用合角公式得
y=√10*sin（α+45°）+4
所以三角函数的最值去做
所以 最大：4+根号10；最小：4-根号10

Answer 2

三角换元法

y=x+4+根号(5-x^2)中,发现 X项的平方与根号(5-x^2)平方之和是定值5

又因为(sinα)^2+(cosα)^2=1

所以(√5sinα)^2+(√5cosα)^2=5

因此令X＝√5*sinα

因为 -√5<=X<=√5【注意定义域，这可是初中数学的内容，别告诉我你没学】

所以令  -90°+k*360°<=α<=90°+k*360°, k属于正整数

则有：y=√5*sinα+√(5-(sinα)^2)+4=√5*sinα+√5*cosα+4

用合角公式得

y=√10*sin（α+45°）+4

所以令  -45°+k*360° <=α+45°<=135°+k*360°, k属于正整数

所以      -√2/2 <=sin(α+45°)<= 1

所以        4-√5 <=y=√10*sin（α+45°）+4<=4+√10

所以 最大：4+√10；最小：4-√5

可惜啊，学过的会用的知识不一定能够完全做对哟~

这题是2017年全国高中数学联赛陕西赛区一试的第7题，感兴趣的同学可以看一下解答

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