Question

函数f(x)=x³+ f’(2/3)x²-x ①求f(x)的单调区间 ②求f(cosx)的最大值和最

函数f(x)=x³+ f’(2/3)x²-x
①求f(x)的单调区间
②求f(cosx)的最大值和最小值

Answer 1

记a=f'(2/3)为常数
则f(x)=x³+ ax²-x
求导，有f'(x)=3x²+2ax-1
代入2/3,得：a=f'(2/3)=4/3+4a/3-1, 解得：a=-1
故有f'(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1),得极值点为x=-1/3, 1
1)
单调增区间：x<-1/3, 或x>1
单调减区间：(-1/3,1)
2) 记t=cosx, 则|t|<=1, 即求f(t)的最大值和最小值, f(t)=t³-t²-t
在[-1,1],有极大值f(-1/3)=5/27, 极小值f(1)=-1
而端点值f(-1)=-1
比较得f(cosx)的最大值为5/27，最小值为-1