Question

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b＞a)上的函数，若对任意x1,x2属于(a,b),都有|

(x1)-f(x2)|＜=|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数，1.试证明对任意k属于R,f(x)=x^2+kx+14都不是区间(-1，1)上的平缓函数，2.若f(x)是定义在实数集R上的周期为T=2的平缓函数，试证明对任意x1,x2属于R,|f(x1)-f(x2)|＜=1

Answer 1

设y=f(x)是定义在区间(a，b)(b＞a)上的函数，若对∀x1、x2∈(a，b)，都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称y=f(x)是区间(a，b)上的平缓函数．
(1)试证明对∀k∈R，f(x)=x^2+kx+14都不是区间(-1，1)上的平缓函数；
(2)若f(x)是定义在实数集R上的周期为T=2的平缓函数，试证明对∀x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．
（1）证明：由平缓函数定义可知，在区间(-1,1)上存在x1,x2，有|f(x1)-f(x2)|＞|x1-x2|成立，则该函数就不是区间(-1，1)上的平缓函数
∵函数f(x)=x^2+kx+14，∀x1、x2∈(-1，1)，
∴|f(x1)-f(x2)|=|x1+x2+k|*|x1-x2|．
当k≥0时，只要x1、x2∈(1/2，1)，x1+x2+k＞1，必然成立
从而|f(x1)-f(x2)|＞|x1-x2|；
当k＜0时，只要x1、x2∈(−1，−1/2)，x1+x2+k＜-1，|x1+x2+k|＞1，必然成立
从而|f(x1)-f(x2)|＞|x1-x2|，
∴对任意常数k，f(x)=x^2+kx+14不是区间(-1，1)上的平缓函数．

（2）证明：∵f(x)是定义在R上的周期为T=2的平缓函数
取f(x)的一个完整周期，令x1、x2∈[0，2]，
当|x1-x2|≤1时，显然|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|≤1成立；
当|x1-x2|＞1时，不妨设0≤x1＜x2≤2，
由f(x)的周期性可知，f(0)=f(2)，
由绝对值不等式知：
|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(2)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(2)-f(x2)|
≤|x1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-(x2-x1)＜1，
∴对∀x1、x2∈[0，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤1成立．
对∀x1、x2∈R，
∵f(x)为周期T=2的周期函数，
∴存在t1、t2∈[0，2]，使f(x1)=f(t1)、f(x2)=f(t2)，
从而|f(x1)-f(x2)|=|f(t1)-f(t2)|≤1

Answer 2

天知道，自己想。