Question

设函数.若,,求函数的极值;若,试确定的单调性;记,且在上的最大值为,证明:.

设函数. 若,,求函数的极值; 若,试确定的单调性; 记,且在上的最大值为,证明:.

Answer 1

先把,代入函数解析式,再研究的符号,利用导数求解在上的极值问题即可.
先对函数进行求导,然后令导函数大于(或小于)求出的范围,根据求得的区间是单调增区间,求得的区间是单调减区间,即可得到答案.
先根据题意,及在上的最大值为,得到:,,再结合绝对值不等式的性质即可求得.
解:若,,则
有
令得,(分)
当时,当时,当时,
当时,函数有极大值,,(分)
当时,函数有极小值,-(分)
即
又
(分)
当即时,
函数在上单调递增;(分)
当,即时,由得或,
由得;(分)
当,即时,由得或,
由得;(分)
综上得:当时,函数在上单调递增;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减-(分)
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减.(分)
根据题意,
在上的最大值为,
,,
即,,(分)
(分)(其它解法请参照给分)
本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数单调区间等有关基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.研究单调性的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于时原函数单调递增,当导函数小于时原函数单调递减.