Question

（x+cosx）/x求x趋向于无穷的极限,怎么求?洛必达法则求不出来

Answer 1

这个极限应该使用夹逼定理或无穷小比较法来求解。 具体方法如下：夹逼定理：当-x ≤ y ≤ x (x \u003e0）时，有 |x cos(y)| ≤ x，故当x趋向于无穷大时，x cos(y)也趋向于无穷大。又因为：-1 ≤ cos(y) ≤ 1，故当x趋向于无穷大时，cos(y)必然趋向于1或-1。因此，当x趋向于无穷大时，x cos(y)的极限为无穷大或负无穷大。无穷小比较法：因为lim x → ∞ cos(x) = DNE （不存在极限），所以不能用洛必达法则。但是我们可以使用无穷小比较法：当x趋向于无穷大时，-1 ≤ cos(x) ≤ 1，所以-x ≤ x cos(x) ≤ x。因此，-1 ≤ (x cos(x))/x ≤ 1，又因为-1和1都是常数，所以当x趋向于无穷大时，(x cos(x))/x的极限为1，即lim x → ∞ (x cos(x))/x = 1。综上所述，x趋向于无穷大时，(x cos(x))/x的极限为无穷大或负无穷大，且等于1。

Answer 2

lim（x→无穷大） （x+cosx)/x
=lim（x→无穷大）x/x+cosx/x
=lim（x→无穷大）1+cosx/x
因为 -1小于或等于cosx小于或等于1
所以lim（x→无穷大）cosx/x=0
所以
lim（x→无穷大）（x+cosx)/x=1