Question

数列﹛an﹜的前n项和Sn满足﹙a－1﹚Sn＝a﹙an－1﹚﹙a＞0,且a≠1﹚,数列﹛bn﹜满足bn＝an•lg an

(1)求数列﹛bn﹜的前n项和Tn

Answer 1

解：已知Sn满足﹙a－1﹚Sn＝a﹙an－1﹚……（1）
则﹙a－1﹚Sn-1＝a﹙an-1－1﹚……（2)
(1)—（2）得﹙a－1﹚（Sn—Sn-1）＝a﹙an－an-1﹚
即﹙a－1)an＝a﹙an－an-1﹚→an/an-1=a
由（1）式，令n=1得a1=a
∴an为等比数列，且an=a×a^(n-1)=a^n
∴bn=an•lg an=a^n•lg a^n=lg a×na^n
∴Tn=b1+b2+b3+……+bn
=lg a(1•a+2•a²+……+na^n）……（3）
aTn=lg a[1•a²+2•a^3+……+(n-1)a^n+na^(n+1)]……（4）
（3）—（4）得：（1-a)Tn=lg a[a+a²+a^3+……+a^n-na^(n+1)]
=lg a[a(1-a^n)/(1-a)—na^(n+1)]
∴Tn={lg a[a(1-a^n)/(1-a)—na^(n+1)]}/(1-a)