用向量的方法证明三角形正弦定理
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在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为
BA+AC+CB=0恒成立,两边乘以i得
i*BA+i*AC=0①
根据向量内积定义,i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理
i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得
csinB-bsinC=0
所以b/sinB=c/sinC
类似地,做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,
所以a/sinA=b/sinB=c/sinC
http://wenda.so.com/q/1373775855060021
BA+AC+CB=0恒成立,两边乘以i得
i*BA+i*AC=0①
根据向量内积定义,i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理
i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得
csinB-bsinC=0
所以b/sinB=c/sinC
类似地,做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,
所以a/sinA=b/sinB=c/sinC
http://wenda.so.com/q/1373775855060021
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步骤1
记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤3.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
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