伴随矩阵的秩

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2021-07-29 · TA获得超过77.1万个赞
知道小有建树答主
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A的秩小于n-1时,A*的秩为0,A的秩等于n-1时,A*的秩为1。

(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;

(2)  当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);为了证明r(A*)=1,下面证明  r(A*) 小于等于1。     

定义

参见:子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵

设R是一个交换环,A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义:

定义:A关于第i行第j列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n− 1)×(n− 1)矩阵的行列式。

定义:A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式

hxzhu66
高粉答主

推荐于2017-12-16 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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分析如图,A的秩小于n-1时,A*的秩为0,A的秩等于n-1时,A*的秩为1。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!

追问
为什么A11不等于0,A^*就不等于0,然后伴随矩阵的秩等于1呢?
追答
A*的第一行第一列元素就是A11,所以A*≠0。在r(A)<n的条件下,A*的秩只能是0或1,A*≠0,所以r(A*)≠0,从而r(A*)=1。
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