如图,在平面直角坐标系XOY中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P。
如图,在平面直角坐标系XOY中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴...
如图,在平面直角坐标系XOY中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C,D都在第一象限。
(1)当∠BAO=45°时,求点P坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,是确定h的取值范围,并说明理由。 展开
(1)当∠BAO=45°时,求点P坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,是确定h的取值范围,并说明理由。 展开
4个回答
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:(1)当∠BAO=45°时,四边形OAPB为正方形
OA=OB=a·cos45°= a ∴P点坐标为( a, a)
(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,
设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n)
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中:
∴△AOB≌和△DEA(AAS)
∴AE=0B=n,DE=OA=m,
则D点坐标为(m+n,m)
∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)
∴P点坐标为( o, n/2)∴PF=OF ∴∠POF=45°,
∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时,设PF与PA的夹角为α,
则0°≤α<45° h=PF=PA·cosα= a·cosα
∵0°≤α<45° ∴ <cosα≤1 ∴ -a<h≤ a
OA=OB=a·cos45°= a ∴P点坐标为( a, a)
(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,
设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n)
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中:
∴△AOB≌和△DEA(AAS)
∴AE=0B=n,DE=OA=m,
则D点坐标为(m+n,m)
∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)
∴P点坐标为( o, n/2)∴PF=OF ∴∠POF=45°,
∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时,设PF与PA的夹角为α,
则0°≤α<45° h=PF=PA·cosα= a·cosα
∵0°≤α<45° ∴ <cosα≤1 ∴ -a<h≤ a
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第一题不难求出,P点坐标为(a倍根号2/2,a倍根号2/2)
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(1)p(根号2a/2,根号2a/2)
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(1)∵∠BPA=90°,PA=PB,
∴∠PAB=45°,
∵∠BAO=45°,
∴∠PAO=90°,
∴四边形OAPB是正方形,
∴P点的坐标为:( a, a).
(2)作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,
∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°,
∴∠FPB=∠EPA,
∵∠PFB=∠PEA,BP=AP,
∴△PBF≌△PAE,
∴PE=PF,
∴点P都在∠AOB的平分线上.
(3)因为点P在∠AOB的平分线上,所以h>0.
∴∠PAB=45°,
∵∠BAO=45°,
∴∠PAO=90°,
∴四边形OAPB是正方形,
∴P点的坐标为:( a, a).
(2)作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,
∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°,
∴∠FPB=∠EPA,
∵∠PFB=∠PEA,BP=AP,
∴△PBF≌△PAE,
∴PE=PF,
∴点P都在∠AOB的平分线上.
(3)因为点P在∠AOB的平分线上,所以h>0.
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