Question

如图，在平面直角坐标系XOY中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P。

如图，在平面直角坐标系XOY中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，是确定h的取值范围，并说明理由。

Answer 1

：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°= a ∴P点坐标为（ a， a）

（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为（m+n,m）

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

∴P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，

则0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα= a·cosα

∵0°≤α＜45° ∴ ＜cosα≤1 ∴ -a＜h≤ a

Answer 2

第一题不难求出，P点坐标为（a倍根号2/2，a倍根号2/2）

Answer 3

（1）p(根号2a/2，根号2a/2)

Answer 4

（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PAB=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=90°，
∴四边形OAPB是正方形，
∴P点的坐标为：（ a， a）．
（2）作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．