Question

在平面直角坐标系xOy中，边长是a(a是大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴的...

在平面直角坐标系xOy中，边长是a(a是大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴，y轴的正半轴都不包含原点O)顶点C、D都在第一象限(1)当角BAO＝45度时，求点P的坐标；(2)求证无论点A、点B怎样运动，点P都在角AOB的平分线上

Answer 1

(1)BAO=45度时，两对角线分布和x,y轴平行，P（a/sqrt(2),a/sqrt(2))
设A（x,0),B（0，y），则有x^2+y^2 = a^2
P在AB的垂直平分线上，并与AB距离为a/2
所以P点坐标为（x/2 + a/2 * x/sqrt(x^2+y^2), y/2 + a/2*y/sqrt(x^2+y^2)) = (x,y)
所以P点总在y = x 直线上，平分AOB=90度

Answer 2

⑴ P﹙a,a﹚
⑵ 设A﹙b,0﹚,B﹙0,c﹚,则C﹙c,b+c﹚,D﹙b+c.b﹚ [⊿BCE≌⊿AOB≌⊿DFA,其中DE⊥OB,DF⊥OA]
P﹙﹙b+c﹚/2,﹙b+c﹚/2﹚∈y＝x , P都在角AOB的平分线﹙y＝x﹚上.

Answer 3

：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°= a ∴P点坐标为（ a， a）

（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为（m+n,m）

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

∴P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A，B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

Answer 4

设A（x,0),B（0，y），则有x^2+y^2 = a^2
P在AB的垂直平分线上，并与AB距离为a/2
所以P点坐标为（x/2 + a/2 * x/sqrt(x^2+y^2), y/2 + a/2*y/sqrt(x^2+y^2)) = (x,y)
所以P点总在y = x 直线上，平分AOB=90度