Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=110°．（1）当点E为AD中点时，求DF的长；（2）在线段AD上是否存在一点E，使得F点为CD的中点？若存在，求出AE的长度；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=70°，
∴∠A=∠D=110°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-110°=70°．
∵∠BEF=110°，
∴∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°，
∴∠ABE=∠DEF．
∴△ABE∽△DEF，
∴

AE

DF

＝

AB

DE

，
又∵E为AD中点，AB=DC=AD=9，
∴AE=DE=4.5，AB=9，
∴DF=

AE?DE

AB

=

4.52

9

=2.25；

（2）不存在．                                         
假设点E存在，设AE=x，则DE=9-x，
又F为CD中点，得到DF=

1

2

CD=4.5，
由（1）得

AE

DF

＝

AB

DE

，
可得

x

4.5

＝

9

9?x

，
整理得x²-9x+40.5=0，
∵△=81-4×40.5=-81＜0，即方程无实数根，
∴E点不存在．