Question

对于△ABC，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形...

对于△ABC，有如下四个命题： ①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形； ②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形； ③若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形； ④若acosA2=bcosB2=ccosC2，则△ABC是等边三角形． 其中正确的命题个数是_____．

Answer 1

1
解：①若sin2A=sin2B，则2A=kπ+（-1）k•2B，（k∈Z），
当k=0时，A=B，△ABC为等腰三角形；当k=1时，A=π2-B，△ABC为直角三角形；
②若sinB=cosA=sin(π2-A)，∴B=π2-A或B=π-(π2-A)，化为A+B=π2或B=π2+A，因此△ABC是直角三角形不正确；
③若sin2A+sin2B＞sin2C，则a2+b2＞c2，则C是锐角，则△ABC不一定是锐角三角形，不正确；
④若acosA2=bcosB2=ccosC2，则sinAcosA2=sinBcosB2=sinCcosC2，∴sinA2=sinB2=sinC2，
∵A，B，C∈（0，π），∴A2，B2，C2∈(0，π2)，∴A2=B2=C2，A=B=C，∴△ABC是等边三角形．
其中正确的命题个数是
1．
故答案为：1．