Question

已知函数.当时,求的最大值;试讨论函数的零点情况;设,,均为正数,若,求证:.

已知函数. 当时,求的最大值; 试讨论函数的零点情况; 设,,均为正数,若,求证:.

Answer 1

利用导数研究函数的单调性,可得函数在上是增函数,在上是减函数,故.
由可得,故函数的零点个数即为与的交点的个数.结合图象可得,当或时,有个零点;当时,有个零点;当时,没有零点.
由可得,当时,,可得,故.可得,再由已知条件证得成立.
解:当时,,当时,,当时,.
故函数在上是增函数,在上是减函数.
故.
由可得,故函数的零点个数即为与的交点的个数.
结合图象可得,当时,的零点个数仅有一个.
当时,令,可得.
由于当时,,当时,.
故在上是增函数,在上是减函数.
故.
故当时,即时,有个零点;当时,有个零点;当时,没有零点.
综上可得,当或时,有个零点;当时,有个零点;当时,没有零点.
由可得,当时,.
,都是正数,,
.
.
又因为,
,即,
故.
本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,利用导数研究函数的单调性,用放缩法证明不等式,属于中档题.