Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB

（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2，试求的d1+d2的最大值．

求答案和第三问详细过程，谢谢。

Answer 1

OA=1,OB=3，所以A(-1,0),B(3,0),|AB|=4，所以D(1,-2)
设抛物线为a(x-1)^2-2，将A坐标代入，得a=1/2
所以y=(x-1)^2/2-2=(x+1)(x-3)/2

AD的斜率为-1，AC⊥AD，所以AC斜率为1，AC方程为y=x+1，代入抛物线方程，解得x=-1,5
所以C(5,6)

C(5,6),D(1,-2)，所以CD斜率为2
设l的斜率为k(-1<k<1),则l和CD的夹角a的正切为(2-k)/(1+2k)
当k=-1/2时，l和CD垂直，d1+d2=|CD|=4根号5
当k不为-1/2时，d1+d2=|CD|sina<=|CD|
所以d1+d2的最大值为4根号5