Question

已知两定点F1(-√2，0）F2(√2,0),满足条件|向量PF2|-|向量PF1|=2的点P的轨迹方程是曲线E，直线y=kx-1与曲

已知两定点F1(-√2，0）F2(√2,0),满足条件|向量PF2|-|向量PF1|=2的点P的轨迹方程是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点
1）求E的方程
2）求k的取值范围
3)如果|向量AB|=6√3,且曲线E上存在点C，使向量OA+向量OB=m向量OC，求m的值和三角形ABC的面积S

Answer 1

1.2a=2 c=√2 所以双曲线方程为x²-y²=1
2.把y=kx-1代入x²-y²=1中，(1-k²)x²+2kx-2=0，由判别式>0得4k²-4(1-k²)(-2)>0，-√2<k<√2
3.

Answer 2

1）P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支
c=√2,a=1
得E的方程为x^2-y^2=1(x≤-1)
2)由方程组 { x^2-y^2=1
y=kx-1
得（1-k^2）x^2+2kx-2=0
由题{1-k^2不等于0
△ >0
x1+x2<0
x1x2>0
得k的取值范围是（-√2，-1）
设A（x1,y1）,B(x2,y2)
所以x1+x2=2k/(k^2-1)
x1x2=2/(k^2-1)
|AB|=[√(k^2+1)]|x1-x2|=6√3
得k^2=5/4或5/7
由k的取值范围是（-√2，-1）
所以k=-√5/2
所以方程：y=-√5/2x-1
（3） 设C（x0，y0）
{x1+x2=mx0=-4√5
Y1+y2=my0=8

所以{x0=-4√5/m
Y0=8/m
代入x^2-y^2=1(x≤-1)
得m^2=16
因为x0<0,所以m=4
C（-√5，2）,C到直线距离为1/3
三角形ABC的面积为S=1/2*1/3*6√3=√3
注：在求m时可先求C：点C是过原点O和线段AB中点的直线与曲线E的交点
考点：弦长、弦中点的问题

Answer 3

1）P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支
又c=√2,a=1
得E的方程为x^2-y^2=1(x≤-1)
2)利用数形结合思想，直线过定点（0，-1），斜率为k
根据直线与曲线E有两个交点，且k=-√2时直线与曲线相切，
可得k的取值范围是（-√2，-1）
x^2-y^2=1与y=kx-1联立，得（1-k^2）x^2+2kx-2=0
设：A（x1,y1）,B(x2,y2)
故x1+x2=2k/(k^2-1),x1x2=2/(k^2-1)
|AB|=[√(k^2+1)]|x1-x2|=6√3
解得k^2=5/4或5/7
由(1)得k的取值范围是（-√2，-1）
所以k=√5/2
点C是过原点O和线段AB中点的直线与曲线E的交点
线段AB中点坐标是M（-2√5，4）
所以C（-√5，2）,m=2
三角形ABC的面积为S=5√3