Question

求证（3n+1）/4（n+1）+ln[（n+1）^0.2]<1+1/2+1/3+......+1/n n为正整数

Answer 1

首先有一个常用等式：
ln(1+x)<1+1/2+...1/n
于是：
1+1/2+...1/n-0.5ln(1+n)
>1+1/2+...1/n-0.5(1+1/2+1/3+...)
=0.5(1+1/2+1/3+...)
>0.5(1+1/2)=3/4
而(3n+1)/(4n+4)<(3n+3)/(4n+4)=3/4
因此原是成立

关于ln(1+x)<1+1/2+1/3..+1/n的证明：
证法一：
利用拉格朗日中值定理：
ln(x+1)-ln(x)=(1/k)*(x+1-x)=1/k...(x<k<x+1)
=>
ln(x+1)-ln(x)<1/x
类似的
ln(x)-ln(x-1)<1/(x-1)
...
ln(2)-ln1<1/1
叠加整理得：
ln(1+x)<1+1/2+..1/n

证法二：
利用函数图像或求导证明有：
ln(1+x)<x
=>
ln(1+1/k)<1/k
=>
ln((k+1)/k)<1/k
=>
ln(1+k)-lnk<1/k
之后同证明一，叠加即可