Question

（2012?宝安区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2

（2012?宝安区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2DE，则|PC-PA|的最大值是______．

Answer 1

延长BA交CD的延长线于F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵在△FBE和△CBE中

∠BEF＝∠BEC BE＝BE ∠FBE＝∠CBE

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC=6，EF=EC，
∵BE⊥CF，
∴PC=PF（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
即|PC-PA|=|PF-PA|，
根据两点之间线段最短得：|PF-PA|≤AF，
即当|PC-PA|的最大值是AF，
∴当P和B重合时，|PC-PA|=|BC-BA|=AF，
∵EF=CE，CE=2DE，
∴DF=DE=

1

2

CE=

1

4

CF，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴

AF

BF

=

FD

CF

=

1

4

，
∴AF=

1

4

BC=

1

4

×6=

3

2

，
即|PC-PA|的最大值是

3

2

，
故答案为：

3

2

．