Question

若关于x的方程|x|/x+4=k*x^2有四个不同的实数解,则K的取值范围

我觉得答案是K>1

Answer 1

移项得kx²-IxI/x-4=0（IxI/x=1或者-1）
①当x＜0时，该方程可化为kx²+1-4=0
该方程要有两个不等实根，
即△=0+4k*3＞0，则k＞0
②当x＞0时，该方程可化为kx²-1-4=0
该方程要有两个不等实根，
即△=0+4k*5＞0，则k＞0
综上所述，k＞0时，使得关于x的方程|x|/x+4=k*x^2有四个不同的实数解

追问

不好意思，x+4是分母，我没写清楚，麻烦在解下

追答

移项得kx²-IxI/（x-4）=0
通分母之后为k*x的三次方-4kx²-lxl=0
当x=0时，方程成立（不论k取何值）
当x≠0时，方程左右同时除以x得
①kx²-4kx-1=0，△1=（4k）²+4k
②kx²-4kx+1=0，△2=（4k）²-4k
若△1＞0，则△2=0，解得k=1/4（不等式解集要同时成立）
若△1=0，则△2＞0，解得k=-1/4
综上所述，得k=±1/4
（望采纳）

追问

是道选择题，我觉得你解得有些不对，麻烦再看看。
选项有A.(0,1) B.(1/4,1) C.(1/4, 正无穷） D.(1,正无穷）

追答

检查了一片，发现上面的第一句就错了
移项后是kx²-IxI/（x+4）=0
算下来应该是k＞1/4
选c

追问

我还是不太懂，要就求甚解啊，能麻烦您再详细点麽？
依照你上面所说的若△1＞0，则△2=0，解得k=1/4，怎么就得到k>1/4?

追答

你追问时的第一个回答的第一步是错的，应该改为“移项后是kx²-IxI/（x+4）=0”
然后按照那个顺序算下来，可以得到k>1/4，所以选C

Answer 2

解：|x|/x+4=kx²
|x|/x=kx²-4 （两边平方）
1=k²(x²)²-8kx²+16
化简得 k²(x²)²-8kx²+15=0
令x²=t 则 k²t²-8kt+15=0
若x有四个不同的实数解
则t有两个不相等的正根 根据韦达定理
△>0 => 64k²-60k²>0 => k≠0
t1+t2=-b/a>0 -(-8k)/k²>0 k>0
t1 x t2=c/a>0 15/k²>0 k≠0
所以综上所述，k>0

追问

不好意思，x+4是分母，我没写清楚，麻烦在解下

追答

此时不成立吧
理由如下：①当x>0时 原式为：x/(x+4)=kx²
1/(x+4)=kx
kx²+4kx-1=0
此时x应有两个解，所以有两个不等的正根
但对称轴-b/2a=-20,就算有一个负根，也得舍，因此只有一个根符合条件
②当x<0时,就算是有两个符合条件的负根，也无法满足题目中四个不同的实数解的要求。

追问

必有一个解为x=0，所以可能存在四个解，画图，可得左边可有2个，右边可有一个，我想知道，怎么求k的范围？

追答

解：①当x=0时，成立
②当x>0时 原式为：x/(x+4)=kx²
1/(x+4)=kx
kx²+4kx-1=0
由上述分析，这时必是一正根一负根
△>0 => k>0或k k0 => k>0或k k>0

x1 x x2=c/a>0 k>0
所以综上所述 k>0或k<-1/4

追问

不对，当x>0时，为什么是一正根一负根？这不就不符合四个根了么？
不过还是谢谢你这么认真，如果解答下，那就更好了。。

Answer 3

先把kx*2移到左边，化成右边=0的形式，即，x的绝对值乘以（1/x+4-k乘以x的绝对值）=0，（1）由x的绝对值=0得出x=0，（2）只要1/x+4-k乘以x的绝对值=0有三个根即可，整理后可得，y1=1/k ;y2=x(x+4) (当x>0时) ; y3=-x(x+4) (当x<0时)分别画出y2,y3的图像,当y1与图像有三个交点时，1/k<4 即最后的答案是k>1/4 或者（1/4，正无穷）