Question

将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比

Answer 1

设圆形纸片的半径为R，则两个扇形的弧长分别为：
扇形1弧长=2πR*3/(3+4)=6Rπ/7，
扇形2弧长=2πR*4/(3+4)=8Rπ/7。
圆锥1的底面半径=(6Rπ/7)/2π=3R/7
圆锥2的底面半径=(8Rπ/7)/2π=4R/7
圆锥1的高=√(R²-(3R/7)²)=√40R/7
圆锥2的高=√(R²-(4R/7)²)=√33R/7
V圆锥1/V圆锥2=(π(3R/7)²*(√40R/7)/3)/(π(4R/7)²*(√33R/7)/3)
=((9*√40)/49*7)/((16*√33)/49*7)
=9*√10/8*√33

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Answer 2

半径为R，剪开后圆弧长L1、L2之比与圆心角之比同为3：4，即
L1=（3/7）2πR；L2=（4/7）2πR

卷成圆锥如图2，圆锥底面半径分别为
r1=L1/2π=(3/7)2πR/2π==(3/7)R
r2=L2/2π=(4/7)2πR/2π==(4/7)R

圆锥底面面积分别为
S1=πr1^2=π(3R/7)^2
S2=πr2^2=π(4R/7)^2

圆锥高分别为
h1=(R^2-r1^2)^(1/2)
h2=(R^2-r2^2)^(1/2)

圆锥体积分别为
V1=S1h1/3=π(3R/7)^2×(R^2-(3R/7)^2)^(1/2)
V2=S2h2/3=π(4R/7)^2×(R^2-(4R/7)^2)^(1/2)

两圆锥体积之比
V1/V2=[(3R/7)^2×(R^2-(3R/7)^2)^(1/2)]/[(4R/7)^2×(R^2-(4R/7)^2)^(1/2)]=（9×√10）/（8×√33）≈0.6193