Question

高二寒假作业的一道数学题，先谢谢了，我会给悬赏的。。

已知点A(-1.1),B(1,1),点P是直线L:y=x-2上的一动点,当∠APB最大时,则过A,B,P的圆的方程是？
答题要点：①过程较清晰，步骤较严谨
②讲述思想
③最好，讲一下用到的知识（这是一道高二解析几何题）谢谢，我在线等。。。

Answer 1

作圆ABP，及其圆心O，可知∠APB=1/2*∠AOB，若要使∠APB最大，则∠AOB最大，圆心要尽量向上，而又必须与y=x-2有交点，必为圆与直线相切。又因为O在AB垂直平分线上，可见O坐标为(0,c)，由OA^2等于O到直线y=x-2距离平方（相切的条件）列出方程：
1^2+(c-1)^2=(0-c-2)^2/(1^2+1^2)整理得c^2=8c，c=0或c=8，有图像可见c=8符合相切但不符合最大，即圆心在(0,0)上，又半径为OA=√(2)，所以方程为x^2+y^2=2。
注：用到点到直线距离公式，(x0,y0)到直线ax+by+c=0距离为(ax0+by0+c)/sqrt(a^2+b^2)。