Question

数学已知两点求椭圆，设方程为mx^2+ny^2=1,其焦点可能在X或

已知两点求椭圆，设方程为mx^2+ny^2=1,其焦点可能在X或Y轴上，方程可有两个但这两点代入，不是只有一个解吗

Answer 1

已知两点，若求椭圆或双曲线的“标准方程”，即以两坐标轴为对称轴，原点为中心的标准方程，而不是将它们平移或旋转后的非标准方程。就可以设方程为mx²+ny²=1,将两点代入方程，解出m,n,就可得出唯一确切的答案。不用讨论焦点位置，答案是唯一的。
如果你求出的m,n值是m>n>0, 就是焦点在y轴上的椭圆，因0<1/m<1/n。
如果你求出的m,n值是n>m>0,就是焦点在x轴上的椭圆，
如果你求出的m,n值是m>0,n<0,就是焦点在x轴上的双曲线，
如果你求出的m,n值是m<0,n>0,就是焦点在y轴上的双曲线。

追问

问题是求出方程可能有 两个，焦点一个在X轴一个在Y轴上，但用这种方法只有一解，也就是一个方程，这不是矛盾吗

追答

如果你一定要分两种情况做,必有一种答案无意义,要舍掉.
已知两点坐标求椭圆的方程:设方程为mx²+ny²=1,讨论(1)当焦点在x轴时,mn。而解完方程组只有一组解，比如m=3,n=5 那么不符合（2）的假设，舍掉。所以没必要讨论焦点。
若把（1）设成 (x²/a²)+(y²/b²)=1,a>b>0,上例会求出a²=1/3,b²=1/5，a>b>0,而（2）b>a>0就没意义，舍掉。你做一下就看出来了。但讨论时，一定注意 a>b>0和 b>a>0这个大前提。

追问

必有一种答案无意义,为什么，两点并不能确定一个椭圆啊，有些题不是有两个方程吗，用这种方法是不是只能求出一个

追答

注意条件是: 已知一个以"坐标轴"为对称轴,"原点"为对称中心的椭圆上两点的坐标,可以唯一求出此椭圆的标准方程.例如 : 已知点A(1,1/√2), B(1/√2,√3/2),求椭圆的"标准方程".
通过设mx²+ny²=1,得方程组 m+(1/2)n=1
｛ (1/2)m+(3/4)n=1 解出 m=1/2, n=1. 方程是(x²/2)+y²=1.
有的题是只给出 a,b,c, 的任意两个,"标准方程"就有两种.
你把此例按两种情况做做,一定动笔做,再思考.最好在坐标系上画画,不可能长轴在y轴上.

Answer 2

肯定有两个解 先想 三点确定一个圆 椭圆比圆复杂 肯定要三个以上
用标准形式看ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0
两边同除以a 就有 5个未知数 需要五个点
2个点已知 加上焦点已知 才4个 无法确定该方程所表示的园唯一

追问

设方程为mx^2+ny^2=1，这样做不是只有一个解吗，这种方法不能做吗

追答

mx^2+ny^2=1 中心原点 完整m（x-a）^2+n（y-b）^2=1 这个等价于ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0

追问

椭圆的一般方程不是mx^2+ny^2=1吗，后面的一堆是什么意思

追答

老师好坑爹 mx^2+ny^2=1 这个中心在原点 但为啥中心一定在原点······
这个x^2+y^2=r^2 到（x-a）^2+（y-b）^2=r^2 一样滴
ax^2+by^2+cx+dy+exy+f=0 就是m（x-a）^2+n（y-b）^2=1展开 再把字母简化后得到的

追问

只考虑中心在原点，也可能有两解吗，不是只有一解吗

追答

才四个点········

Answer 3

正因为不知道焦点在哪所以对m、n大小关系不予考虑，你设焦点在x轴或y轴最后还不是要检验m和n的大小关系是否符合

Answer 4

全是人才

Answer 5

不一定吧，如果这两个点是两个椭圆的交点都是方程的解呢。